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By Otto Forster

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik suitable sind.

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Differentialrechnung im Rn 44 = 1 − 2 cost + cos2 t + sin2 t = 2 − 2 cost = 4 sin2 (t/2), also f (t) = 2| sin(t/2)|. Damit wird L= Z 2π 2 sin 0 t dt = 4 2 Z π 0 sin u du = 8. Es ist bemerkenswert, dass sich f¨ur die Bogenl¨ange eine rationale Zahl ergibt. Parametertransformationen Sei f : [a, b] → Rn eine Kurve, [α, β] ⊂ R ein weiteres Intervall und ϕ : [α, β] −→ [a, b] eine bijektive stetige Abbildung. Dann ist die zusammengesetzte Abbildung g := f ◦ ϕ : [α, β] −→ Rn wieder eine Kurve im Rn . Man sagt, dass die Kurve g aus der Kurve f durch die Parametertransformation ϕ hervorgeht.

1, § 21, Satz 1). Wir zeigen, dass f in einem beliebigen Punkt a ∈ X stetig ist. Sei ε > 0 vorgegeben. Wegen der gleichm¨aßigen Konvergenz existiert ein N ∈ N, so dass ε fN (x), f (x) < f¨ur alle x ∈ X . 3 Da fN im Punkt a stetig ist, gibt es ein δ > 0, so dass ε fN (x), fN (a) < f¨ur alle x ∈ X mit x, a < δ. 3 I. d. 3 3 3 Lineare Abbildungen Satz 10. Seien V und W normierte Vektorr¨aume (¨uber R oder C) und sei A :V →W eine lineare Abbildung. A ist genau dann stetig, wenn es eine reelle Konstante C 0 gibt, so dass A(x) C x f¨ur alle x ∈ V.

Die Funktion f :U → R heißt k-mal stetig partiell differenzierbar, wenn sie k-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der Ordnung k stetig sind. h. D j Di f = Di D j f . 2. A. Schwarz sagt jedoch, dass es bei stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf die Reihenfolge der Differentiation nicht ankommt. § 5 Partielle Ableitungen 55 Satz 1 (Schwarz). Sei U ⊂ Rn offen und f :U → R eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt f¨ur alle a ∈ U und alle i, j = 1, 2, .

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