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By Patrice Tauvel

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6. Soient [a, b] un intervalle de R et fn une série de fonctions intégrables sur [a, b]. On suppose que la série fn converge uniformément sur [a, b]. Alors la somme de cette série est intégrable sur [a, b] et : b a ∞ fn (t) dt = n=0 ∞ b fn (t) dt. n=0 a fn une série de fonctions sur X . Si la série uniformément sur X , il en est de même de la série fn . 7. Soit |fn | converge Démonstration. Si n, p ∈ N et x ∈ X , on a : |fn (x) + fn+1 (x) + · · · + fn+p (x)| |fn (x)| + |fn+1 (x)| + · · · + |fn+p (x)|.

Un est dite commutativement convergente si la série uσ(n) est convergente pour toute permutation σ de N. 5. 6. Si un est une série absolument convergente, elle est commutativement convergente et, pour toute permutation σ de N, on a : ∞ ∞ uσ(n) = n=0 un . n=0 1 • Séries numériques 16 Démonstration. Soit σ une permutation de N. Notons v n = uσ(n) , wn = |vn |. Si l’on pose θ(n) = max{σ(k) ; 0 k n}, il vient : n θ(n) |vk | k=0 ∞ |uk | k=0 |uk |. k=0 On en déduit que la série wn est convergente et que W U , où U est la somme −1 de la série |un |.

An z0n converge, la suite (an z0n )n admet 0 pour limite, an z n une série entière. Il existe un unique élément R de R+ ∪ {+∞} possédant les propriétés suivantes : (i) Pour tout z ∈ C tel que |z| < R, la série an z n est absolument convergente. (ii) Pour tout z ∈ C tel que |z| > R, la série an z n est divergente. On dit que R est le rayon de convergence de la série, que D(0, R) en est le disque de convergence, et que C(0, R) en est le cercle de convergence. 3. Soit Démonstration. Soit B l’ensemble des réels positifs ou nuls tels que la suite (a n r n )n soit bornée.

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